Når der skal opstilles en numerisk grundvandsmodel for et kalkmagasin, er det ikke umiddelbart de samme hydrauliske forhold som gør sig gældende i kalken sammenlignet med sandmagasiner.

Den dobbeltpermeable strømning som er nævnt og beskrevet i afsnit 3.3.2 bevirker, at modellen skal parametriseres anderledes sammenlignet med sandmagasinet. F.eks. er den effektive porøsitet for et sandmagasin typisk sat til 20-30 %, hvor den for kalkmagasiner oftest sættes til mellem 0,001 % til 1% svarende til sprækkeporøsiteten i kalken.

Sprækkeintensiteten og dermed strømningen i kalken er som tidligere nævnt stærkt aftagende med dybden hvilket man bør forholde sig til, og ikke må se bort fra i modelleringsprocessen. Endelig optræder der ofte som beskrevet i afsnit 3.3.3 anisotropi i kalken hvilket kan påvirke strømningsforholdene i et modelområde og dermed give store problemer, hvis ikke der tages højde for denne faktor inden modellen opstilles.

Håndtering af reduceret sprækkeintensitet med dybden
De øverste 5-15 meter af kalkmagasinet er ofte mere opsprækkede end resten (Henriksen & Sonnenborg, 2005) hvorfor der her foregår en større grundvandstrømning sammenlignet med dybere nede i kalken. Derfor vil man typisk i forbindelse med modellering af kalken inddele kalkmagasinet i en øvre opsprækket del (0-15 meter) og en nedre del (15-30 meter) med en reduceret opsprækkethed, se Figur 1. Den hydrauliske ledningsevne K vil således typisk ligge på 5×10^-3 m/s - 5×10^-4 m/s i den øvre opsprækkede del og på 5×10^-6 m/s - 1×10^-8 m/s for det dybereliggende kalkmagasin.

I de dybere dele af kalken er grundvandsstrømningen ofte så lille at man kan negligere den. Derfor antages det som regel at kalken er impermeabel under de to henholdsvis meget opsprækkede og mindre opsprækkede intervaller af kalken beskrevet herover. I praksis vælges modellens nedre afgræsning således ofte at være beliggende ca. 30 meter under kalkoverfladen. Det er derfor selvsagt vigtigt at have et godt kendskab til kalkoverfladens forløb så man kan fastlægge lagfladerne i modellen korrekt, samt give et realistisk bud på f.eks. overgangen mellem et overliggende sandmagasin og kalkmagasinet.

Figur 1. Illustration af den konceptuelle opbygning af et modelleret kalkmagasin med en øvre meget opsprækket kalkenhed overlejret af et sandmagasin og en nedre mindre opsprækket kalkenhed hvorunder kalken antages at være impermeabel.

Modellering af lithologiske grænser i kalken
Kendskab til lithologiske grænseflader i kalken som f.eks. grænsen mellem Danienkalk og skrivekridt, større flint- og mergellag kan være vigtige informationer at få indarbejdet i den numeriske model. Da Danienkalken ofte er mere opsprækket end skrivekridtet (jf. afsnit 3.3.1) og derfor ofte har en større hydraulisk ledningsevne, kan modellen eventuelt zoneres efter skrivekridtet og Danienkalkens beliggenhed. Ligeledes kan tilstedeværelsen af større mergellag på tilsvarende vis med fordel zoneres og lægges ind i modellen.

Anisotropi
Anisotropi er hyppigt forekommende i kalkmagasiner (afsnit 3.3.3) og derfor er det vigtig at man i den indledende fase af modelleringen får et overblik over eventuel forekomst og retning af anisotropi.

Anisotropi som beskriver den foretrukne strømningsretning f.eks. i horisontal udbredelse, er stærkt styret af de dominerende sprække- og forkastningssystemer som hersker i modelområdet. Det er derfor vigtigt at geolog og modellør fra starten har kendskab til eventuelle overordnede sprække- og forkastnings-systemer i modelområdet.

Ved udførelse af prøvepumpninger kan forekomsten af eventuel anisotropi identificeres og realistiske hydrauliske størrelser for den hydrauliske ledningsevne (Kx, Ky) beregnes.

Nedenfor ses i Figur 2 et eksempel fra en kildepladsundersøgelse for Lindved kildeplads ved Odense hvor der er formodning om et NØ-SV-gående sprækkesystem. Det antages at sprækkesystemet kan have indflydelse på strømningsforholdene i kalken og medvirke til horisontal anisotropi. For at kunne modellere eventuel anisotropi i den numeriske grundvandsmodel er cellegriddet for modellen orienteret NØ-SV så anisotropien kan indarbejdes. I det konkrete eksempel er Kx og Ky værdierne sat til henholdsvis 1,54 × 10^-04 m/s og 1,0 × 10^-05 m/s (Odense Vandselskab, 2006). Den hydrauliske ledningsevne er således en faktor 10 større i NØ-SV-retning i forhold til NV-SØ.

Figur 2. Beregningsgrid og modelrand for numerisk grundvandsmodel for kildeplads undersøgelse ved Lindved ved Odense (Efter: Odense Vandselskab, 2006).

Modellering af kalken
Opsprækkede porøse medier kan typisk modelleres ud fra 3 forskellige konceptuelle modeller:

1. Ækvivalent porøst medium model (EPM)
2. Diskret sprækkemodel (DF)
3. Dobbelt porøsitet model (DP) (Anderson og Woessner, 1992)

1. Ækvivalent porøst medium model (EPM)
I en ækvivalent porøst medium model antages det at både sprækker og kalkmatrix fysisk kan beskrives som ét samlet medium, hvor der anvendes ét sæt parametre. Det forudsættes at magasinet opfører sig som et porøst medium, hvor Darcys´ lov er gældende, og at der kan bestemmes effektive parametre som er i stand til at beskrive det integrerede opsprækkede system. Den effektive hydrauliske ledningsevne er givet ved:

hvor n_f og n_m er porøsiteten af henholdsvis sprækker og matrix, og K_f og K_m er de tilsvarende hydrauliske ledningsevner.

2. Diskret sprækkemodel (DF)
I den diskrete sprækkemodel (DF) antages det, at strømningen udelukkende foregår i sprækkerne. DF-modellen anvendes typisk for magasinbjergarter hvor den primære permeabilitet i matrix er lav.

Vandgennemstrømningen i sprækkerne Q_f kan bestemmes ud fra ligningen:

hvor ρ er vandets densitet (kg/m³), g er tyngdeaccelerationen (m/s²), 2b er spaltebredden (aperturen) (m), μ er den dynamiske viskositet (kg/m s) og H grundvandets trykniveau (m).

3. Dobbelt porøsitet model (DP)
I den dobbelt porøse model antages det at der kun foregår vandtransport i sprækkerne, mens der kan ske diffusion af stof mellem sprækkerne og kalkmatrix. Der er således tale om to strømningsdomæner, sprækkedomænet og matrixdomænet. Sprækkedomænet er kendetegnet ved at have en lav porøsitet og en høj hydraulisk ledningsevne, mens matrixdomænet har en høj porøsitet og en lav hydraulisk ledningsevne (Anderson & Woessner, 1992; Bear, 1993; Sonnenborg, 2006).

De fleste modelleringsopgaver i forbindelse med grundvandskortlægningen i kalkmagasiner anvender EPM-modellen. Det skyldes ofte at man ikke har nøjagtige informationer om størrelsen og udbredelsen af sprækkerne i kalkmagasinet, og derfor ikke kan anvende f.eks. DF-modellen. I stedet anvender man EPM-modellen hvor den hydrauliske ledningsevne K er udtrykt ved en effektiv hydraulisk ledningsevne, der omfatter både strømning i sprækker og matrix.

Anvendelse af EPM-konceptet forudsætter for det første at det modellerede område er betydeligt større end afstanden mellem sprækkerne. For det andet skal der være ligevægt mellem koncentrationen af stof i sprækkerne og matrix. Sidstnævnte forudsætning kræver at opholdstiden er relativt stor, da diffusion er en langsom proces, hvilket igen betyder at strømningshastigheden skal være relativt lille, og at transportafstanden skal være relativ stor. Hvis begge forudsætninger er opfyldt, kan magasinet beskrives med en EPM model hvor der benyttes en effektiv hydraulisk ledningsevne givet ved ovenstående udtryk og en effektiv porøsitet givet ved porøsiteten af matrix.

I tilfælde hvor opholdstiden er relativt lille, f.eks. i nærheden af kildepladser, hvor der er stor hydraulisk gradient og dermed høje strømningshastigheder i sprækkerne, vil der være risiko for at antagelsen om ligevægt mellem sprækker og matrix ikke er opfyldt. Det vil resultere i at transporthastigheden underestimeres med EPM-modellen, hvilket svarer til at en given forurening vil blive transporteret hurtigere gennem magasinet end modellen forudsiger (altså at transporttiden overvurderes med EPM-modellen). I disse tilfælde bør der, hvis det betragtede strømningssystem er tilstrækkeligt stort, anvendes en DP-model som kan beskrive den dynamiske udveksling af stof mellem sprækker og matrix, og dermed give et troværdigt bud på transporttiden.

Hvis det modellerede område er sammenligneligt med afstanden mellem sprækkerne, kan hverken EPM- eller DP-metoderne anvendes. I det tilfælde er det nødvendigt at benytte en DF-model hvor strømning og transport i hver enkelt sprække beskrives eksplicit. Det vil imidlertid være sjældent at så små transportafstande er relevante i grundvandskortlægningens modellering af grundvandsmagasiner.

Alle de 3 ovenfor nævnte modeller bygger hver især på nogle simple antagelser, og for DP- og DF-modellernes vedkommende kræves desuden kendskab til f.eks. forekomst og størrelse af sprækker. Som bekendt forholder det sig ofte sådan at man i praksis ikke er i besiddelse af denne viden eller har erfaring med anvendelsen af disse modeltyper, herunder at estimere de pågældende størrelser, hvilket medfører at EPM-konceptet stort set altid anvendes i forbindelse med grundvandskortlægningen. Der er imidlertid grund til at vurdere resultaterne fra EPM-modellerne kritisk, især i områder og for problemstillinger hvor forudsætningerne for at anvende denne modeltype er tvivlsomme.

Referencer
Anderson, M.P. & Woessner, W.W. 1992: Applied Groundwater Modeling, simulation of Flow and Advective Transport.

Bear, J. 1993: Modeling flow and contaminant transport in fractured media. In: Bear, J., Tsang, C.F. & Marsily, G.: Flow and Contaminant transport in fractured rock. London. Academic Press, pp. 1-37.

Henriksen, H.J. & Sonnenborg, T.O. 2005: Ståbi i grundvandsmodellering, GEUS.

Odense Vandselskab. 2006: Water Vision. Kildepaldsundersøgelse ved Lindved.

Sonnenborg, T.O. 2006: Vandressource- og stoftransport-modellering i kalk: Status og muligheder. ATV-møde, 8. nov. 2006.